$MATHEMAGICA$ શબ્દના તમામ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને કેટલા ક્રમચયો (permutations) બનાવી શકાય?

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તનની છૂટ હોય ત્યારે કેટલા $3$ અંકની એકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

અંકો $0, 2, 3, 5, 7$ નો ઉપયોગ કરીને કેટલા $3$-અંકી બેકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય,જો અંકોનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય?

જો $^nC_{r-1} = 36$,$^nC_r = 84$ અને $^nC_{r+1} = 126$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

એક ગ્રાહક બેંકમાં ઓટોમેટિક ટેલર મશીન ($A$.$T$.$M$.) માટેનો $4$-અંકનો કોડ ભૂલી જાય છે. જો કે,તેને યાદ છે કે આ કોડમાં $3, 5, 6$ અને $9$ અંકોનો સમાવેશ થાય છે. સાચો કોડ મેળવવા માટે જરૂરી પ્રયત્નોની મહત્તમ સંખ્યા શોધો.

પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની એવી ક્રમિત જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા શોધો કે જેનો ગુણાકાર $100$ થી નાની ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય -